dilluns, d’abril 30, 2007

La hipòtesi de Riemann

De jove hi havia dues assignatures que trobava particularment àrides: La història i les matemàtiques. Després, com passa en moltes coses, a mida que van passant els anys vaig anar descobrint que també podien ser interessants, que oferien coneixements atractius i que fins i tot ocultaven grans dosis de bellesa.

Ara ja dono per cert que tota branca del coneixement pot oferir un gran plaer intel·lectual quan es té la sort de poder comprendre-la i admirar-la. En el cas de la història ja em resulta atractiu descobrir coses sobre la vida dels romans, l’estructura de les ciutats de Mesopotàmia o els rituals dels asteques. En canvi, amb les matemàtiques tan sols em queda un sentiment de frustració. I això és per que, malgrat que ara ja puc intuir com de fascinant és el món en que es mouen els matemàtics, la falta de base m’impedeix aprofundir-hi. Em sento com quan era petit i escoltava un concert de música clàssica. Potser pressentia que aquella música tenia una gran bellesa, però simplement encara era incapaç de captar-la.

Però al menys em diverteixen les anècdotes dels matemàtics i la seva exploració del món dels números. I m’encanten els reptes (incomprensibles) que es plantegen. I l’estrella d’aquests reptes és un anomenat “La hipòtesi de Riemann”.

No penseu que us explicaré quin és aquest problema, més que res perquè no tinc prou base matemàtica com per entendre’l a fons. Em puc fer una idea, i suposo que si hi dediqués prou temps, i trobés un matemàtic amb paciència l’acabaria per comprendre. Però és que més enllà del problema matemàtic concret, trobo interessant la pròpia història de la hipòtesi.

Encara que no comprengui exactament el que vol dir, al menys si que puc transcriure quin és el problema. Al 1859, el matemàtic Bernhard Riemann va proposar que:La part real de tot zero no trivial de la funció zeta de Riemann és ½”. Això tan sols és una conjectura. És com si en Riemann digués “Jo diria que és així, intueixo que és així, semblaria que és així... però encara no ho he demostrat”.

El cas és que van anar passant els anys i la hipòtesi seguia sense demostrar-se. Totes els càlculs i les teories dels matemàtics apuntaven a que aquell enunciat críptic pels no-matemàtics es complia, però seguia sense demostrar-se. I aquesta mena de reptes encanten als matemàtics.

L’any 1900, un altre matemàtic, en David Hilbert va proposar 23 problemes matemàtics que representaven, segons ell, els grans reptes que tenia aquella ciència. Era la llista de les grans batalles que els matemàtics havien de lliurar, amb uns noms que trobo completament misteriosos com ara: “Resoldre les formes quadràtiques amb coeficients numèrics algebraics” o “Uniformització de les relacions analítiques per medi de funcions automòrfiques”.

Però el cas és que aquells grans reptes es van anar aconseguint. Un a un van anar caient tots. Tots? No! El problema número 8 de la llista, segueix sense resposta. Aquest és, precisament, la "Hipòtesi de Riemann”. De fet, al maig del 2000 es va proposar una nova llista de problemes. Els van anomenar els set problemes del mil·lenni. De nou amb noms misteriosos: “La conjectura de Hodje”, la “Teoria de Yang-Mills” o la “Conjectura de Poincare”, que va poder ser resolta l’any passat. Però entre ells tornem a trobar la “Hipòtesi de Riemann” L’únic supervivent de la llista del 1900.

La matemàtica és estranya, difícil, aparentment àrida, però pels amants dels grans reptes resulta un terreny fascinant. De vegades em fan enveja els matemàtics! A qui no li agradaria resoldre un problema que ha resistit quasi dos segles!

I no us penseu que és irrellevant. Per exemple, la seguretat de les comunicacions per internet depèn de la hipòtesi de Riemann. Cada vegada que donem el número de targeta de crèdit a través de la xarxa ens estem posant a les mans de vell i brillantíssim Bernhard Riemann.

Ah! Per cert. Si us animeu, recordeu que hi ha un premi d’un milió de dòlars a qui ho resolgui.

13 comentaris :

Carquinyol ha dit...

Si és que de misteris hi ha a molts camps, no cal veure "Cuarto Milenio" per a obtenir-ne !!

Amb les matemàtiques em passa com a tu, la meua falta de base fa que moltes coses les trobi "quasi" màgiques.

matgala ha dit...

Bé, el que diu la hipòtesi de Riemann no és tan difícil d'explicar (ni d'entendre). És una mica com el teorema de Fermat, però una mica més complicat d'entendre.

La funció zeta de Riemann és una funció que es calcula sumant una sèrie. La funció zeta de Riemann està definida pels números complexos, i aquí hi entraria el si se sap què són els complexos, però aquí no hi entraré. Es pot calcular pels nombres reals.

Per exemple, per 2, la funció és la suma de 1/n^2, per n des d'1 fins a infinit. O sigui, és 1+1/4+1/9+1/16+... Aquesta funció està definida pels números que tenen la part real més gran que 1, perquè sinó la sèrie és divergent (la suma és infinita).

Crec que m'estic enrotllant massa, continuo en un segon comentari. Sento el rotllo!

matgala ha dit...

Aquesta sèrie que he posat, la funció de Riemann per 2, val pi^2/6 (valor que recordaré tota la vida, m'hi vaig barallar bastant a l'examen de càlcul 1 i vaig ser incapaç de sumar la sèrie...) Però me'n vaig de tema.

Hi ha alguns valors reals pels que la sèrie val 0. Són tots els nombres parells i negatius. Com que són fàcils de calcular, s'anomenen zeros trivials de la funció.

El que diu la hipòtesis de Riemann és que, a part d'aquests zeros tan fàcils de trobar, hi ha números complexos en que la sèrie també suma zero.

Els números complexos es poden escriure com una part real més una part imaginària, i es poden representar en un pla, on a l'eix X s'hi posa la part real i a l'eix Y, la part imaginària.

Doncs això, el que diu la hipòtesis és que, a part dels zeros trivials, els únics zeros de la funció zeta de Riemann són els que tenen com a part real 1/2, i per això, aquests zeros, estarien tots en una recta vertical, a x=1/2.

Si es torna a mirar el dibuix del principi, es veu el pla complex, amb la línia puntejada, que és on diu la hipòtesis de Riemann que hi poden haver els zeros, cap a l'esquerra els trivials, i a partir de l'1, que no hi ha zeros.

Espero no haver-me embolicat massa.

Dan ha dit...

Je je. Esperava el teu comentari. Però... tu que creus? La hipòtesi és certa o falsa? I... si fos falsa, quines conseqüències tindria?

Jacme ha dit...

en sèrio: la pixa un lio, tinc feta... (ara entenc perquè m'ho passo millor amb les lletres) :D

a vore si un dia que no tinc lo cap espés em rellegeixo l'explicació matgala, gràcies per explicar-ho (no, si la culpa que no ho entengue jo no és teua, tranquila...)

:DDD

En qualsevol cas, la història del problema em resulta molt més interessant que el problema en si (tants anys fent ordinadors, enviant trastos a l'espai, i encara no sabem solucionar esta hipòtesi!) :D

Proximo ha dit...

Ara no ho recordo be. Pero al "Tio Petros y la conjetura de Golbach" Crec que s'havia "provat" la conjetura de Golbach, donant per certa la hipòtesi de Riemann.

Tampoc se si això es part de la ficció del llibre...

Y si les histories que envolten les demostracions solen ser més populars. Qui no ha sentit parlar de a^n+b^n=c^n jejeje

Dan ha dit...

Si. He llegit que la matemàtica esta plena de demostracions que comencen dient "Cas que sigui certa la hipòtesi de Riemann..."

Laia ha dit...

Jo he arribat a un punt en el que miro les fórmules i demostracions i penso: això és així punt... Si em poso a pensar-hi i a donar-hi voltes llavors la frustració va en augment jejeje...
Per cert, matgala.. una explicació genial! Ho he entès, diria! Val a dir que fa un quart d'hora estava estudiant nombres complexos per l'examen que tinc dijous ^^

pedra ha dit...

jacme. no t'enganyis, a matèmatiques no se'n veuen gaires de números! Més aviat hi fan grec allí! ^^

matgala ha dit...

Ei, que aquí jo no sóc pas una experta en aquest tema! Jo entenc què és la funció zeta de Riemann i la importància de la funció, per demostrar certes propietats dels nombres primers (la funció aquesta de la densitat dels nombres primers, la validesa de la qual depèn de que la hipòtesis de Riemann sigui certa).

Jo crec que és certa, però... bé, ja he dit que jo no tinc massa coneixement com per tenir una bona intuició. I no sé quines conseqüències tindria que fos falsa.

Això de la conjectura de Goldbach, he pensat que tenia cert sentit, perquè la hipòtesis de Riemann està fortament relacionada amb els números primers. Fa anys que vaig llegir el llibre, però no ho recordava. Resumint, si la hipòtesis fos certa, no es demostraria tota la conjectura de Goldbach, però sí per nombres senars.

Gràcies, Laia, a veure si et va bé l'examen.

I pedra, m'has fet riure molt. Nosaltres déiem que féiem xino, perquè anaves allà i no entenies res. Però sí, de grec també en vam fer molt!

Ulisses ha dit...

Em sembla que deixare el milió de dolars per un altre... XD

Cosespetites ha dit...

Haurem de treure la pols als llibres de matemàtiques de primària (aquells que sempre començaven amb els conjunts i que eren tan lletjos perque no tenien il·lustracions a color)i començar per la base; mai se sap, pot ser algun dia aquest milió de dòlars pot ser meu. De moment ja tenc un competidor menys pel que diu l'Ulisses.

Anònim ha dit...

Impressionant que encara hi hagen coses com aquests problemes que ens entretinguen la vida amb aquest misteri.