dilluns, de setembre 21, 2009

Comptar

Una característica que diferencia els ocells dels mamífers és que mentre uns tenen plomes, els altres tenen el cos recobert de pèl. Malgrat les diferències, en el fons es tracta de dues maneres de resoldre el mateix problema, protegir el cos de la temperatura exterior. Cal dir que les plomes són un sistema més eficient, però el pèl tampoc funciona malament.

Doncs una cosa semblant passa en un altre àmbit completament diferent, quan els humans hem topat amb la necessitat de comptar vàrem inventar, o descobrir, els números. Amb ells podíem quantificar i fer operacions com la suma o la resta. Sembla una obvietat, però això va representar un salt immens per la civilització. Però igual que passa amb la manera de protegir el cos, amb els números també s’han desenvolupat diferents estratègies per resoldre el mateix problema.

La manera com numerem actualment és a partir del deu. Segurament perquè tenim deu dits entre les dues mans i això ens permetia fer càlculs senzills guiant-nos pels dits. Per això, comptem fins a deu i a partir d’allà agafem la desena i tornem a afegir deu xifres. Comptar de deu en deu (tècnicament en base deu) ens sembla d’allò més normal.

Però hi ha coses que no les comptem així. Una de les més típiques és la dotzena d’ous. En realitat sovint fem servir el concepte de dotzena per comprar coses. I també quan mirem el rellotge. Tenim el dia dividit en dues meitats de dotze hores i també l’any té dotze mesos. No pas deu, sinó dotze. Però si ho pensem un moment això resulta curiós. Si comptem de deu en deu, perquè fem servir les dotzenes? I perquè no tretzenes o quatorzenes?

D’altra banda, si seguim mirant el rellotge, veiem que cada hora es divideix en seixanta minuts, que contenen seixanta segons. Perquè seixanta? Perquè no deu? O millor dotze per mantenir el sistema?

Doncs el cas és que no totes les cultures van construir el seu coneixement de les matemàtiques fent servir la base deu que ens resulta tant familiar. Hi ha qui va optar per contar de dotze en dotze i també altres que ho feien de vint en vint i fins i tot de seixanta en seixanta. Segurament a l’arrel de tot hi havia parts del nostre cos. Per comptar de vint en vint n’hi ha prou de fer servir els dits de les mans i els dels peus. I l’estratègia que ens porta al dotze és la d’amagar el dit polze i fer servir les tres parts en que es plega cada dit (les falanges). Quatre dits per tres falanges ens donen el dotze.

De bon començament semblaria espantós una matemàtica basada en el dotze. Us imagineu les taules de multiplicar com serien? Doncs si us semblen difícils és que ho penseu malament. En realitat serien gairebé iguals que les nostres. Simplement després del número nou hi hauria dos números més abans d’arribar al que anomenem “deu”, (que tindria un valor de dotze, és clar). A continuació vindria l’onze, el dotze, i la resta, fins arribar al vint. Evidentment, entre el dinou i el vint també hi hauria dos números més.

Per tant, a l’hora d’escriure, de fer operacions i tota la resta gairebé no hi hauria cap canvi. Simplement les tables de multiplicar tindrien dos xifres més en cada cas.

Els entesos diuen que la base dotze va millor perquè té més possibilitats. El deu el podem dividir únicament per dos i per cinc. En canvi el dotze permet dividir entre dos, tres, quatre i sis. A mi, i a la majoria de mortals, això ens és ben igual, però als matemàtics els agrada tenir més maneres de combinar els números. I després de tot, un rellotge de deu hores no permetria dir les hores en quarts!

La base vint va tenir menys fama, però encara en queda alguna resta. El que sempre vaig creure que únicament era un absurd costum dels francesos d’anomenar al número vuitanta “quatre-vingt” sembla tenir l’arrel justament en el fet de comptar en base vint.

I si combinem la base vint amb la dotze, ens surt la numeració basada en el seixanta, com les hores i els minuts.

L’altra manera de comptar que ara s’imposa és fer servir la base dos. El sistema binari dels ordinadors. Enlloc de deu xifres únicament en fan servir dos. També a base d’uns i zeros podem escriure tots els números. Això ens recorda que un sistema serà millor que els altres sobretot en funció de per que el vulguem fer servir.

I finalment això de les diferents maneres de comptar permet fer bromes insospitades. En un moment donat, a “Alícia al país de les meravelles”, l’Alícia intenta assegurar-se de la seva identitat recordant les coses que sabia. I en el monòleg que té amb ella mateixa diu “Quatre per cinc són dotze, quatre per sis són tretze...”

Segurament el que feia era contar en diferents bases. En base divuit quatre per cinc són dotze. Una unitat de “divuitenes” més dos unitats: dotze (vint en base deu). Recordeu que Lewis Carroll era el pseudònim de Charles Dodgson, que ensenyava matemàtiques a Oxford!

17 comentaris :

Carquinyol ha dit...

No acabo de veure clar això de comptar en base dos per ésser el sistema dels ordinadors. Jo diria que la base binària s'utilitza a nivell molt de maquinari, però quan es volen fer operacions de forma més conceptual, de disseny o de programació el més habitual la representació hexadecimal (base 16).

Això té el seu origen en que els primer microprocessadors d'us comú tenien registres (parts de maquinari on es carreguen valors per a fer operacions) de 8 bits primer i de 16 després que permetien fer operacions amb valors de 16 bits, tot i que avui dia ja anem per 64 bits, i no només de registres sinó de molts altres components interns.

McAbeu ha dit...

M'ha interessat molt el post, és veritat que "les coses de tota la vida" (com comptar de deu en deu) i que ens semblen intocables, podrien haver estat totalment diferents en unes altres circumstàncies i també les trobaríem normals. Vull dir que si comptéssim de 12 en 12, el que ens semblaria rar és que algú ens digués que podríem comptar de 10 en 10 només eliminant dos números.

Dan ha dit...

carquinyol. Comtar en base dos vol dir que es fan servir dues xifres, en aquest cas anomenades 0 i 1. Igual que comptar en base deu implica emprar deu xifres diferents amb els quals pots construir tots els numeros. En informàtica, els primers registres tenien una capacitat de 8 xifres (8 bits), però això és una limitació que no permet construir tots els números. Per això s'ha anat ampliant. Com si en base deu volguessim escriure numeros superiors al milió fent servir únicament tres dígits. Simplement no podriem. (Ara no parlo d'exponiencials i coses així)

McAbeu. Segurament si l'evolució ens hagues posat sis dits a cada ma, la base deu ens semblaria molt i molt poc útil.

matgala ha dit...

Ostres, no havia sentit mai això del 12 com a comptar falanges dels dits :-D Jo sempre havia llegit això, que servia millor perquè té molts divisors. I bé, sí, a mi m'agrada la base 12 perquè té tants divisors :-D

No eren els egipcis, que feien servir numeració decimal però multiplicaven en base 2? Sense dir-ne base 2, és clar! :-P

Alepsi ha dit...

Lewis Carroll era matemàtic??? Què fort... (sí, ja, em quedo amb la part anecdòtica del post... però com que, per variar, m'ha encantat tot... què vols que comenti? xDDDD)

Dan ha dit...

Matgala. Les falanges son les xifres, i amb el polçe pots anar indicant-les. Prova-ho! :-D

Alepsi. Matemàtic, sacerdot, fotógraf... Un paio ben curiós.

kika ha dit...

això no ho he entès:

"un rellotge de deu hores no permetria dir les hores en quarts!"
???

Dan ha dit...

Això és perque un quart coincideix amb la marca corresponent a una hora (les 3) i facilita la lectura. En base deu un quart cau entre les dues i les tres i queda malament. Molt menys precís.

Anònim ha dit...

Sento sonar repel·lent, però comptar s'escriu amb mp. Quan ho escrius com en el títol, significa quelcom semblant a "explicar un conte o història".

kika ha dit...

ah! gràcies! no ho havia pillat!

Rita ha dit...

Curiós tot plegat!

Si t'ho expliquen fins i tot s'hi veu la lògica, però si no t'arribo a llegir mai se m'hagués acudit res de tot això.

Gràcies! Com sempre, encantada de llegir-te i d'aprendre una cosa més. :-)

Dan ha dit...

Anònim. Al contrari. Agraeixo molt que m'indiquin les errades per poder corregir-les.

Kika. De res. Es un plaer :-D

Rita. Tantes coses quan ens les expliquen semblen tan clares...
;-D

Alasanid ha dit...

Això de les falanges és molt curiós.

Em sembla recordar que quan canvies de base passen coses curioses amb els números primers o també que hi havia bases més entretingudes que d'altres pels matemàtics.

Joana ha dit...

Un matemàtic i pedagog de les matemàtiques ho explicava un dia, ho vaig trobar molt interessant, igual que el teu post, és molt curiós. El seu raonament del perque la gent havia agafat la dotzena era perque podies fer grups de coses repartides de més formes `per guardar les coses i economitzar o aprofitar l'espai, d'aquesta manera va dir que les neveres on van els ous, són en base deu o dotze segons el fabricant sigui d'un lloc o d'un altre, una curiositat.

Anònim ha dit...

Les parts del cos són útils per a comptar però sempre he cregut que hi ha altres raons per utilitzar altres bases.
Un exemple,utilitzar la dotzena per comptar ous es molt útil, ja que en una grapada caben tres ous. Intentar agafar-los de quatre en quatre no es pràctic ja que els ous no encaixen bé en la ma. Així, dues grapades mitja dotzena, quatre grapades una dotzena.
D’altra banda si ja tenim una base dotze la podem combinar amb els dits d’una ma i obtenir la base 60 (12x5=60).

David ha dit...

Lo curiós de tot plegat, és com ens adaptem a la natura. si enlloc de 10 dits en tinguéssim..... vesa saber com comptaríem ara.

Molt bo l'article

Dan ha dit...

Alasanid. Si que passen coses divertides. Per exemple, pi en base dotze es 3.184809493B9. I aquesta B que hi surt seria per indicar el nombre que va abans del 10 i després del numero A (que es el que va després del 9). 5-6-7-8-9-A-B-10

Joana. Segur que en un començament els motius per triar una base o altra eren de caire totalment pràctic.

Anònim. El que li deia a Joana. Al principi no pensaven si hi hauria més divisors o si "pi" seria més fàcil de recordar. Simplement triaven el que era més pràctic per allò que feien.

David. Per sort no tenim tres mans. Una matemàtica basada en un nombre senar segurament seria lletja lletja.