dilluns, d’octubre 18, 2010

L'adeu de Mandelbrot

Aquests dies s’ha fet pública la noticia de la mort de Benoît Mandelbrot. El seu nom sempre estarà associat a la geometria fractal i a la imatge, fascinant, del conjunt de Mandelbrot. El motiu, més enllà de la estètica, és que va oferir eines per endinsar-nos millor en la realitat de les coses. Fins aleshores, les eines de la geometria eren molt útils, però no deixaven de ser irreals. Això és perquè disposem d’equacions per calcular la longitud d’una circumferència, el volum d’un cub o l’altura d’un triangle. Però aquestes figures no existeixen a la vida real. No hi ha esferes perfectes, poliedres totalment regulars ni línies completament rectes.

De manera que el que fèiem era aplicar aquestes fórmules a la vida real assumint un cert grau d’error. Però això havia de ser poc satisfactori ja que, com va dir el mateix Mandelbrot, “Els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, les costes no són cercles i les escorces dels arbres no són llises ni els llamps van en línia recta.”

Per treballar amb objectes reals calia un nou tipus d’aproximació matemàtica si realment volíem tenir càlculs correctes. Mandelbrot posava l’exemple de quina és la mida de la costa de la Gran Bretanya. Si la mesurem en un mapa trobarem una certa longitud, però en realitat estarem ignorant la llargada de moltes cales i promontoris que no entren en el dibuix. Si ho féssim, la llargada seria més gran. Però en considerar només les cales i promontoris no tindríem en compte les rugositats de les cales i els caps. Si els mesurem, la llargada és encara més gran. I si també considerem la longitud dels rocs concrets que composen les platges, encara serà més gran. I si afegim les rugositats de les roques, encara més i així podem anar fent. Al final resulta que en realitat ignorem la mida que les costes d’enlloc.

El que passa és que apliquem maneres de treballar que són fantàstiques per línies rectes o corbes imaginaries, però poc útils pel món real. Al món el que tenim són coses que ell va denominar fractals. El nom els va triar per recordar que parlem de coses que tenen una dimensió fraccionada. La línia de la costa no és una línia recta (no es de dimensió 1), però tampoc arriba a ser una superfície (no arriba a dimensió 2) En realitat, té una dimensió de “1 i escaig”. És una fracció entre 1 i 2.

Els fractals tenen diferents propietats, però una de les més interessants és que sempre es veuen iguals independent de la mida a la que els mirem. Un arbre és un tronc gran amb branques més petites. Les branques són com troncs grans amb branquetes més petites, les branquetes semblen troncs amb branquillons, i així anar fent. El mateix passa amb els vasos sanguinis, els bronquis dels pulmons, els flocs de neu o els afluents d’un riu. Per això de vegades costa identificar en una imatge el que veiem si no ens diuen abans a quina escala està feta la foto.

Observar la natura amb els ulls dels fractals de Mandelbrot ofereix imatges de gran bellesa. I fins i tot hi ha qui troba una correlació entre el grau de complexitat fractal de les imatges i la percepció de bellesa que li adjudiquem. I això s’aplica igual a objectes del mon real que mostren geometria fractal o a les representacions gràfiques de conjunts fractals, dels que el conjunt de Mandelbrot és el més conegut, però que n’hi ha més, també de ben interesants.

Estrictament no va ser ell qui va inventar les matemàtiques dels fractals. Altres ja havien començat el camí anys abans. Però Mandelbrot va donar l’empenta que els feia falta per arribar a popularitzar un enfoc que topava amb la manera de pensar de la comunitat científica fins aleshores.

En tot cas, ell va ser qui va apropar més que ningú els conceptes de matemàtiques i de bellesa.

7 comentaris :

Carquinyol ha dit...

A mi m'agradaria recordar que gràcies a les equacions fractals o tota la teoria relacionada avui en dia podem renderitzar fantàstics i realistes paisatges basats en models tridimensionals que han revolucionat, per exemple, el món del cinema. Jo recordo haver passat hores i hores fa vint anys amb programes d'aquest tipus. Per cert, saps que fa anys va aparèixer un algorisme basat en fractals per comprimir imatges i competir amb el conegut jpeg?

Sírath ha dit...

M'ha agradat molt veure les imatges fractals que has posat en els links. Encara que a vegades matemàtiques i bellesa, semblen no anar gaire juntetes, eh? jajaja

Adéu!

Dan ha dit...

Carquinyol. Ara ja tenim aplicacions impresionants. I els arbres i paisatges generats per ordinador es basen en els fractals. però al principi, amb programes senzils i amb ordinadors que ara ens farien riure era genial anar explorant diferens zones del conjunt de Mandelbrot.

Sirath. No ho sembla, però les mates amagen molta bellesa (encara que oculta, ben oculta)

Clidice ha dit...

Sempre he viscut envoltada de gent que adora les matemàtiques o sigui que, per força, he hagut d'acabar veient-ne la bellesa :) I els fractals els vaig conèixer, ja fa una pila d'anys, en el lloc més insospitat, el llibre Jurassic Park d'en Michael Crichton, d'ençà aleshores sempre em moc per la natura buscant els fractals :) Es pot convertir en vici i tot :D Un apunt excel·lent, molt treballat pels hipervincles, gràcies :)

Alasanid ha dit...

La bellesa de les matemàtiques la comences a veure quan t'hi endinses una mica i deixes de veure-la com simples regles de càlcul.

En Mandelbrot ha marcat moltíssim i com es pot veure cada vegades penetra en llocs més estranys aquesta nova manera de veure el món. A veure quina és la propera sorpresa de la geometria fractal!

El que m'ha fet més ràbia és no haver-me'n enterat fins diumenge... Tan ràpid que ens enterem de la mort d'alguns personatges i tan difícil que sembla per alguns altres (que en general són més rellevants).

Dan ha dit...

Clidice. Doncs si estas envoltada de matemàtics tens sort. per la majoria, la idea de les mates es limita al patir quan s'acostava un examen.
I si que es converteix en una obsessió anar trobant estructures fractals al voltant.

Alasanid. En Mandelbrot era un paio molt interessant. Potser per això la dedicatòria en la noticia de la seva mort a la web d'un amic ser era "Un grec entre romans"

Ricard ha dit...

Efectivament la matemàtica és plena de bellesa. Jo vaig trigar anys en descobrir-ho, però finalment ho vaig aconseguir.

Al principi costa una mica i requereix molt d'esforç per la teva part, però arriba un moment en que t'enganxa com una "droga" i aleshores ja no pots deixar-ho.

Una abraçada!