El món fractal

La matemàtica es considera el paradigma d’una assignatura dura, seca, àrida. L’antítesi de les expressions artístiques, i de la bellesa. De petits, molts hem passat estones inacabables enfrontant-nos a complexes equacions, a llistes de números que apareixien sense que poguéssim esbrinar el perquè i a normes abstractes que el professor ens deia, però a la que no hi veiem el sentit. Reconec que alguns anys vaig tenir bons professors de matemàtiques, i aleshores la cosa canviava, i molt, però eren l’excepció.

Per això ha quedat al llarg de generacions un reflex que fa que en sentir parlar de matemàtiques ja esperem el súmmum de l’avorriment.

I per això vaig quedar completament descol·locat en descobrir la fabulosa bellesa plàstica d’uns objectes matemàtics. Els fractals.

Si mireu la imatge de la foto, coincidireu amb mi en que sembla mentida que s’origini a partir d’una aplicació pura i dura de la matemàtica. Però el cas és que es pot descriure emprant únicament llenguatge matemàtic. Expressions com [z_n+1 = z²_n + c], que ens poden deixar indiferents (o espantats) a la majoria, són l’origen d’imatges com aquestes.

Però, a més de bonics, els fractals ajuden a fer-nos pensar en forma abstracta i amb plantejaments curiosos però no gaire allunyats de la realitat. Per entendre la idea dels fractals podem llegir el titular de l’article, publicat per Benoit Mandelbrot a Science, i que ja esdevingut un clàssic: “Quan mesura la línia de la costa de Gran Bretanya? Auto-similituds estadístiques i dimensions fraccionals”.

Sembla una bajanada, però exactament quan mesura la costa de Gran Bretanya? Doncs no ho sabem, perquè si contem una línia recta des d’un punt a un altre estarem cometent un error molt gran. Cada quilòmetre de línia de costa, en realitat és molt més llarg ja que no inclou tot el perfil del traçat de les cales i caletes. Si ho mesuréssim metre a metre, el quilòmetre ens donaria una distancia real de dotzenes de quilòmetres.

Ah! Però cada cala està feta per roques que tenen un perfil que també hauríem d'incloure en la mesura. Una cala de cent metres en línia recta pot fer milers de metres si mesurem totes les irregularitats de les roques. I si seguim baixant d’escala, cada roca té un perímetre molt gran degut a les rugositats, que alhora tenen microrugositats, que alhora...

En Mandelbrot es va adonar que no importa a quina escala ho mirem, sempre estarem cometent un error semblant. O dit d’una altra manera, ens farem una imatge similar. I les equacions que descriuen aquestes coses generen imatges que pots ampliar o reduir tant com vulguis, que el resultat que veuràs ve a ser el mateix. No exactament el mateix, però aparentment igual. Si mireu la foto veureu espirals, que contenen espirals, dels que surten espirals... Si ampliem una espiral mil vegades, la imatge resultant serà gairebé igual que la que veiem ara.

A la pràctica la costa de Gran Bretanya és un objecte real i per tant no és exactament un fractal. Però la idea, el concepte, és l’important. Si seguim imaginant una línia en que cada rugositat està feta per més rugositats i així fins l’infinit ens trobem amb una peculiaritat. Una línia es diu que és unidimensional, mentre que per una superfície ja parlem de dos dimensions i pels volums tenim les tres dimensions en que estem còmodes. Però la línia que va intuir en Mandelbrot, amb les seves infinites complexitats, és més gran que una simple dimensió 1. Ara bé, no cobreix tota una superfície, per tant no arriba a dimensió 2. Té una dimensió de “1 i escaig”. Com que la dimensió es pot descriure com una fracció, per això el nom de “fractals”. Són conjunts de dimensió fraccional. El més conegut de tots és, és clar, el conjunt de Mandelbrot.

Complicat d’imaginar aparentment, però amb una mirada atenta a les imatges que generen ens adonem de tot el que s’hi amaga.

I la gràcia dels fractals és que ens envolten arreu. Si busqueu coses que a diferent escala es veuen semblants trobareu molts exemples. Mireu un arbre. Té branques grans, que es divideixen en branques menors, que alhora en tenen de més petites... un arbre és, aproximadament un objecte fractal. Igual que un sistema circulatori per la sang, un riu amb els seus afluents, la gràfica de l’evolució de la borsa...

Ara bé, cal anar amb compte. Com en totes les modes, sobtadament van començar a etiquetar de fractal qualsevol cosa que no fos completament senzilla. I de vegades crec que se'n feia un gra massa.

No. La matemàtica no és àrida en absolut. De fet, és una de les branques del coneixement que amaguen més bellesa. El que passa és que no és una bellesa aparent. I tots sabem com funciona el món real en aquests temes de la bellesa “interior”, oi?